3.23 \(\int \text {csch}^3(c+d x) (a+b \text {sech}^2(c+d x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=144 \[ -\frac {b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text {sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac {b^2 (5 a+7 b) \text {sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \text {sech}(c+d x)}{2 d}+\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac {(a+b) \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^2}{2 d} \]

[Out]

1/2*(a+b)^2*(a+7*b)*arctanh(cosh(d*x+c))/d-1/2*(a+b)^2*(a+7*b)*sech(d*x+c)/d-1/6*b*(6*a^2+15*a*b+7*b^2)*sech(d
*x+c)^3/d-1/10*b^2*(5*a+7*b)*sech(d*x+c)^5/d-1/2*(a+b)*(b+a*cosh(d*x+c)^2)^2*csch(d*x+c)^2*sech(d*x+c)^5/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.18, antiderivative size = 144, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 23, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.174, Rules used = {4133, 468, 570, 207} \[ -\frac {b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text {sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac {b^2 (5 a+7 b) \text {sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \text {sech}(c+d x)}{2 d}+\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac {(a+b) \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^2}{2 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

((a + b)^2*(a + 7*b)*ArcTanh[Cosh[c + d*x]])/(2*d) - ((a + b)^2*(a + 7*b)*Sech[c + d*x])/(2*d) - (b*(6*a^2 + 1
5*a*b + 7*b^2)*Sech[c + d*x]^3)/(6*d) - (b^2*(5*a + 7*b)*Sech[c + d*x]^5)/(10*d) - ((a + b)*(b + a*Cosh[c + d*
x]^2)^2*Csch[c + d*x]^2*Sech[c + d*x]^5)/(2*d)

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 468

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[((c*b -
a*d)*(e*x)^(m + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 1))/(a*b*e*n*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*b*n*(p + 1)), I
nt[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q - 2)*Simp[c*(c*b*n*(p + 1) + (c*b - a*d)*(m + 1)) + d*(c*b*n*(p
+ 1) + (c*b - a*d)*(m + n*(q - 1) + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[q, 1] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 570

Int[((g_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))^
(r_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(g*x)^m*(a + b*x^n)^p*(c + d*x^n)^q*(e + f*x^n)^r, x], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, f, g, m, n}, x] && IGtQ[p, -2] && IGtQ[q, 0] && IGtQ[r, 0]

Rule 4133

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[((1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(b + a*(ff*x)^n)^p)/(ff*x)^(n*
p), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p
]

Rubi steps

\begin {align*} \int \text {csch}^3(c+d x) \left (a+b \text {sech}^2(c+d x)\right )^3 \, dx &=\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (b+a x^2\right )^3}{x^6 \left (1-x^2\right )^2} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac {(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x)}{2 d}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {\left (b+a x^2\right ) \left (b (5 a+7 b)+a (a+3 b) x^2\right )}{x^6 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac {(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x)}{2 d}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \left (\frac {b^2 (5 a+7 b)}{x^6}+\frac {b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right )}{x^4}+\frac {(a+b)^2 (a+7 b)}{x^2}-\frac {(a+b)^2 (a+7 b)}{-1+x^2}\right ) \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=-\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \text {sech}(c+d x)}{2 d}-\frac {b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text {sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac {b^2 (5 a+7 b) \text {sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac {(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x)}{2 d}-\frac {\left ((a+b)^2 (a+7 b)\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1+x^2} \, dx,x,\cosh (c+d x)\right )}{2 d}\\ &=\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \tanh ^{-1}(\cosh (c+d x))}{2 d}-\frac {(a+b)^2 (a+7 b) \text {sech}(c+d x)}{2 d}-\frac {b \left (6 a^2+15 a b+7 b^2\right ) \text {sech}^3(c+d x)}{6 d}-\frac {b^2 (5 a+7 b) \text {sech}^5(c+d x)}{10 d}-\frac {(a+b) \left (b+a \cosh ^2(c+d x)\right )^2 \text {csch}^2(c+d x) \text {sech}^5(c+d x)}{2 d}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 3.89, size = 224, normalized size = 1.56 \[ -\frac {\text {sech}^6(c+d x) \left (a \cosh ^2(c+d x)+b\right )^3 \left (\frac {3}{4} \left (75 a^3+195 a^2 b+165 a b^2+77 b^3\right ) \sinh (4 (c+d x)) \text {csch}^3(c+d x)+\coth (c+d x) \text {csch}(c+d x) \left (150 a^3+270 a^2 b+10 \left (9 a^3+45 a^2 b+75 a b^2+35 b^3\right ) \cosh (4 (c+d x))-30 a b^2+15 (a+b)^2 (a+7 b) \cosh (6 (c+d x))-206 b^3\right )-480 (a+b)^2 (a+7 b) \cosh ^6(c+d x) \left (\log \left (\cosh \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )-\log \left (\sinh \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )\right )\right )}{120 d (a \cosh (2 (c+d x))+a+2 b)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Csch[c + d*x]^3*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

-1/120*((b + a*Cosh[c + d*x]^2)^3*Sech[c + d*x]^6*((150*a^3 + 270*a^2*b - 30*a*b^2 - 206*b^3 + 10*(9*a^3 + 45*
a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*Cosh[4*(c + d*x)] + 15*(a + b)^2*(a + 7*b)*Cosh[6*(c + d*x)])*Coth[c + d*x]*Csch[c
+ d*x] - 480*(a + b)^2*(a + 7*b)*Cosh[c + d*x]^6*(Log[Cosh[(c + d*x)/2]] - Log[Sinh[(c + d*x)/2]]) + (3*(75*a^
3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*Csch[c + d*x]^3*Sinh[4*(c + d*x)])/4))/(d*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^
3)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.60, size = 6717, normalized size = 46.65 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/30*(30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 390*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*
x + c)*sinh(d*x + c)^12 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^13 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a
*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3 + 117*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^11 + 220*(39*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (9*a^3
+ 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^10 + 6*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*
cosh(d*x + c)^9 + 2*(10725*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 225*a^3 + 585*a^2*b + 495*a*b^
2 + 231*b^3 + 550*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^9 + 6*(6435*(a^3 + 9*a
^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 550*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(75*
a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^8 + 8*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*
b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 8*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 825*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3 + 27*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^
2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^7 + 8*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 11
55*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 63*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(
d*x + c)^3 + 7*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^6 + 6*(75*a^3 + 195*a^2*
b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 6*(6435*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 1540*(9
*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 126*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x
+ c)^4 + 75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3 + 28*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^
2)*sinh(d*x + c)^5 + 2*(10725*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 3300*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75
*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 378*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 140*(75*a^3
+ 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c)^4 + 20*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 4*(2145*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 825*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 126*(75*a^3 + 19
5*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 70*(75*a^3 + 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^4 +
45*a^3 + 225*a^2*b + 375*a*b^2 + 175*b^3 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh
(d*x + c)^3 + 4*(585*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 275*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 +
35*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 54*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 42*(75*a^3 + 135*a^2*
b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 15*(9
*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^2 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*co
sh(d*x + c) - 15*((a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 14*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^14 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + (3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)
*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(a^3 + 9*a^2
*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 +
(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 + 198*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*
x + c)^5 + 330*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(
d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a
*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 1485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 7
5*a*b^2 - 35*b^3 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 297*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(a^3 + 9
*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)
^7 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 + 2772*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 75*a*b^2 - 35*b^3 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*s
inh(d*x + c)^6 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1188*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b
^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (a^3 + 9*
a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 1485*(
a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 3
50*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 - 75*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^1
1 + 165*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x +
c)^7 - 70*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 25*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^3 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3
+ 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + (91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^
12 + 198*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^8 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 75*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d
*x + c)^4 + 3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 6*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(
d*x + c)^2 + 2*(7*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 18*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c)^11 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 - 20*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3
)*cosh(d*x + c)^7 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^
3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c) + si
nh(d*x + c) + 1) + 15*((a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^14 + 14*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*
b^3)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*sinh(d*x + c)^14 + 3*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + (3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 9*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)
^10 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 + 198*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*co
sh(d*x + c)^5 + 330*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b +
15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 1485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*
b - 75*a*b^2 - 35*b^3 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*(a^3 +
9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 297*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 15*(a^
3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x
+ c)^7 - 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + (3003*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^8 + 2772*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)
*cosh(d*x + c)^4 - 5*a^3 - 45*a^2*b - 75*a*b^2 - 35*b^3 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)
^2)*sinh(d*x + c)^6 + 2*(1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 1188*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*
b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 1
5*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (a^3
+ 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + (1001*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 1
485*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 210*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^
6 - 350*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3 - 75*(a^3 + 9*a^
2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x +
c)^11 + 165*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 30*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d
*x + c)^7 - 70*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 - 25*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^3 + (a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7
*b^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2 + (91*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x
+ c)^12 + 198*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 45*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh
(d*x + c)^8 - 140*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^6 - 75*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*c
osh(d*x + c)^4 + 3*a^3 + 27*a^2*b + 45*a*b^2 + 21*b^3 + 6*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*
sinh(d*x + c)^2 + 2*(7*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^13 + 18*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*
b^3)*cosh(d*x + c)^11 + 5*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^9 - 20*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^7 - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 2*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 +
7*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))*log(cosh(d*x + c)
+ sinh(d*x + c) - 1) + 2*(195*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*cosh(d*x + c)^12 + 110*(9*a^3 + 45*a^2*b + 7
5*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 27*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(75*a^3
+ 135*a^2*b - 15*a*b^2 - 103*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(75*a^3 + 195*a^2*b + 165*a*b^2 + 77*b^3)*cosh(d*x + c
)^4 + 15*a^3 + 135*a^2*b + 225*a*b^2 + 105*b^3 + 30*(9*a^3 + 45*a^2*b + 75*a*b^2 + 35*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*si
nh(d*x + c))/(d*cosh(d*x + c)^14 + 14*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^13 + d*sinh(d*x + c)^14 + 3*d*cosh(d*x + c
)^12 + (91*d*cosh(d*x + c)^2 + 3*d)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(91*d*cosh(d*x + c)^3 + 9*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x +
c)^11 + d*cosh(d*x + c)^10 + (1001*d*cosh(d*x + c)^4 + 198*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(1001*
d*cosh(d*x + c)^5 + 330*d*cosh(d*x + c)^3 + 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 - 5*d*cosh(d*x + c)^8 + (3003*d
*cosh(d*x + c)^6 + 1485*d*cosh(d*x + c)^4 + 45*d*cosh(d*x + c)^2 - 5*d)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(429*d*cosh(d*x +
c)^7 + 297*d*cosh(d*x + c)^5 + 15*d*cosh(d*x + c)^3 - 5*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 - 5*d*cosh(d*x + c)^6
+ (3003*d*cosh(d*x + c)^8 + 2772*d*cosh(d*x + c)^6 + 210*d*cosh(d*x + c)^4 - 140*d*cosh(d*x + c)^2 - 5*d)*sin
h(d*x + c)^6 + 2*(1001*d*cosh(d*x + c)^9 + 1188*d*cosh(d*x + c)^7 + 126*d*cosh(d*x + c)^5 - 140*d*cosh(d*x + c
)^3 - 15*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + d*cosh(d*x + c)^4 + (1001*d*cosh(d*x + c)^10 + 1485*d*cosh(d*x + c
)^8 + 210*d*cosh(d*x + c)^6 - 350*d*cosh(d*x + c)^4 - 75*d*cosh(d*x + c)^2 + d)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(91*d*cosh
(d*x + c)^11 + 165*d*cosh(d*x + c)^9 + 30*d*cosh(d*x + c)^7 - 70*d*cosh(d*x + c)^5 - 25*d*cosh(d*x + c)^3 + d*
cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c)^2 + (91*d*cosh(d*x + c)^12 + 198*d*cosh(d*x + c)^10 + 45*d*
cosh(d*x + c)^8 - 140*d*cosh(d*x + c)^6 - 75*d*cosh(d*x + c)^4 + 6*d*cosh(d*x + c)^2 + 3*d)*sinh(d*x + c)^2 +
2*(7*d*cosh(d*x + c)^13 + 18*d*cosh(d*x + c)^11 + 5*d*cosh(d*x + c)^9 - 20*d*cosh(d*x + c)^7 - 15*d*cosh(d*x +
c)^5 + 2*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + d)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.20, size = 341, normalized size = 2.37 \[ \frac {15 \, {\left (a^{3} + 9 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2} + 7 \, b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )} + 2\right ) - 15 \, {\left (a^{3} + 9 \, a^{2} b + 15 \, a b^{2} + 7 \, b^{3}\right )} \log \left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )} - 2\right ) - \frac {60 \, {\left (a^{3} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 3 \, a^{2} b {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + 3 \, a b^{2} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )} + b^{3} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}\right )}}{{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} - 4} - \frac {8 \, {\left (45 \, a^{2} b {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 90 \, a b^{2} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 45 \, b^{3} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{4} + 60 \, a b^{2} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} + 40 \, b^{3} {\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{2} + 48 \, b^{3}\right )}}{{\left (e^{\left (d x + c\right )} + e^{\left (-d x - c\right )}\right )}^{5}}}{60 \, d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/60*(15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2 + 7*b^3)*log(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c) + 2) - 15*(a^3 + 9*a^2*b + 15*a*b^2
+ 7*b^3)*log(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c) - 2) - 60*(a^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)) + 3*a^2*b*(e^(d*x + c) +
e^(-d*x - c)) + 3*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)) + b^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c)))/((e^(d*x + c) + e^(-d
*x - c))^2 - 4) - 8*(45*a^2*b*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 90*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 45*b^
3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^4 + 60*a*b^2*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^2 + 40*b^3*(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c
))^2 + 48*b^3)/(e^(d*x + c) + e^(-d*x - c))^5)/d

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.44, size = 192, normalized size = 1.33 \[ \frac {a^{3} \left (-\frac {\mathrm {csch}\left (d x +c \right ) \coth \left (d x +c \right )}{2}+\arctanh \left ({\mathrm e}^{d x +c}\right )\right )+3 a^{2} b \left (-\frac {1}{2 \sinh \left (d x +c \right )^{2} \cosh \left (d x +c \right )}-\frac {3}{2 \cosh \left (d x +c \right )}+3 \arctanh \left ({\mathrm e}^{d x +c}\right )\right )+3 a \,b^{2} \left (-\frac {1}{2 \sinh \left (d x +c \right )^{2} \cosh \left (d x +c \right )^{3}}-\frac {5}{6 \cosh \left (d x +c \right )^{3}}-\frac {5}{2 \cosh \left (d x +c \right )}+5 \arctanh \left ({\mathrm e}^{d x +c}\right )\right )+b^{3} \left (-\frac {1}{2 \sinh \left (d x +c \right )^{2} \cosh \left (d x +c \right )^{5}}-\frac {7}{10 \cosh \left (d x +c \right )^{5}}-\frac {7}{6 \cosh \left (d x +c \right )^{3}}-\frac {7}{2 \cosh \left (d x +c \right )}+7 \arctanh \left ({\mathrm e}^{d x +c}\right )\right )}{d} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

1/d*(a^3*(-1/2*csch(d*x+c)*coth(d*x+c)+arctanh(exp(d*x+c)))+3*a^2*b*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)-3/2/cosh(d
*x+c)+3*arctanh(exp(d*x+c)))+3*a*b^2*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)^3-5/6/cosh(d*x+c)^3-5/2/cosh(d*x+c)+5*arc
tanh(exp(d*x+c)))+b^3*(-1/2/sinh(d*x+c)^2/cosh(d*x+c)^5-7/10/cosh(d*x+c)^5-7/6/cosh(d*x+c)^3-7/2/cosh(d*x+c)+7
*arctanh(exp(d*x+c))))

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.34, size = 556, normalized size = 3.86 \[ \frac {1}{30} \, b^{3} {\left (\frac {105 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} + 1\right )}{d} - \frac {105 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} - 1\right )}{d} - \frac {2 \, {\left (105 \, e^{\left (-d x - c\right )} + 350 \, e^{\left (-3 \, d x - 3 \, c\right )} + 231 \, e^{\left (-5 \, d x - 5 \, c\right )} - 412 \, e^{\left (-7 \, d x - 7 \, c\right )} + 231 \, e^{\left (-9 \, d x - 9 \, c\right )} + 350 \, e^{\left (-11 \, d x - 11 \, c\right )} + 105 \, e^{\left (-13 \, d x - 13 \, c\right )}\right )}}{d {\left (3 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} - 5 \, e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} - 5 \, e^{\left (-8 \, d x - 8 \, c\right )} + e^{\left (-10 \, d x - 10 \, c\right )} + 3 \, e^{\left (-12 \, d x - 12 \, c\right )} + e^{\left (-14 \, d x - 14 \, c\right )} + 1\right )}}\right )} + \frac {1}{2} \, a b^{2} {\left (\frac {15 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} + 1\right )}{d} - \frac {15 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} - 1\right )}{d} - \frac {2 \, {\left (15 \, e^{\left (-d x - c\right )} + 20 \, e^{\left (-3 \, d x - 3 \, c\right )} - 22 \, e^{\left (-5 \, d x - 5 \, c\right )} + 20 \, e^{\left (-7 \, d x - 7 \, c\right )} + 15 \, e^{\left (-9 \, d x - 9 \, c\right )}\right )}}{d {\left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} - 2 \, e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} - 2 \, e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} + e^{\left (-8 \, d x - 8 \, c\right )} + e^{\left (-10 \, d x - 10 \, c\right )} + 1\right )}}\right )} + \frac {3}{2} \, a^{2} b {\left (\frac {3 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} + 1\right )}{d} - \frac {3 \, \log \left (e^{\left (-d x - c\right )} - 1\right )}{d} + \frac {2 \, {\left (3 \, e^{\left (-d x - c\right )} - 2 \, e^{\left (-3 \, d x - 3 \, c\right )} + 3 \, e^{\left (-5 \, d x - 5 \, c\right )}\right )}}{d {\left (e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} + e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} - e^{\left (-6 \, d x - 6 \, c\right )} - 1\right )}}\right )} + \frac {1}{2} \, a^{3} {\left (\frac {\log \left (e^{\left (-d x - c\right )} + 1\right )}{d} - \frac {\log \left (e^{\left (-d x - c\right )} - 1\right )}{d} + \frac {2 \, {\left (e^{\left (-d x - c\right )} + e^{\left (-3 \, d x - 3 \, c\right )}\right )}}{d {\left (2 \, e^{\left (-2 \, d x - 2 \, c\right )} - e^{\left (-4 \, d x - 4 \, c\right )} - 1\right )}}\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)^3*(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/30*b^3*(105*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 105*log(e^(-d*x - c) - 1)/d - 2*(105*e^(-d*x - c) + 350*e^(-3*d*x - 3*
c) + 231*e^(-5*d*x - 5*c) - 412*e^(-7*d*x - 7*c) + 231*e^(-9*d*x - 9*c) + 350*e^(-11*d*x - 11*c) + 105*e^(-13*
d*x - 13*c))/(d*(3*e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) - 5*e^(-6*d*x - 6*c) - 5*e^(-8*d*x - 8*c) + e^(-10*d*x
- 10*c) + 3*e^(-12*d*x - 12*c) + e^(-14*d*x - 14*c) + 1))) + 1/2*a*b^2*(15*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 15*log(e^
(-d*x - c) - 1)/d - 2*(15*e^(-d*x - c) + 20*e^(-3*d*x - 3*c) - 22*e^(-5*d*x - 5*c) + 20*e^(-7*d*x - 7*c) + 15*
e^(-9*d*x - 9*c))/(d*(e^(-2*d*x - 2*c) - 2*e^(-4*d*x - 4*c) - 2*e^(-6*d*x - 6*c) + e^(-8*d*x - 8*c) + e^(-10*d
*x - 10*c) + 1))) + 3/2*a^2*b*(3*log(e^(-d*x - c) + 1)/d - 3*log(e^(-d*x - c) - 1)/d + 2*(3*e^(-d*x - c) - 2*e
^(-3*d*x - 3*c) + 3*e^(-5*d*x - 5*c))/(d*(e^(-2*d*x - 2*c) + e^(-4*d*x - 4*c) - e^(-6*d*x - 6*c) - 1))) + 1/2*
a^3*(log(e^(-d*x - c) + 1)/d - log(e^(-d*x - c) - 1)/d + 2*(e^(-d*x - c) + e^(-3*d*x - 3*c))/(d*(2*e^(-2*d*x -
2*c) - e^(-4*d*x - 4*c) - 1)))

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 1.64, size = 536, normalized size = 3.72 \[ \frac {\mathrm {atan}\left (\frac {{\mathrm {e}}^{d\,x}\,{\mathrm {e}}^c\,\left (a^3\,\sqrt {-d^2}+7\,b^3\,\sqrt {-d^2}+15\,a\,b^2\,\sqrt {-d^2}+9\,a^2\,b\,\sqrt {-d^2}\right )}{d\,\sqrt {a^6+18\,a^5\,b+111\,a^4\,b^2+284\,a^3\,b^3+351\,a^2\,b^4+210\,a\,b^5+49\,b^6}}\right )\,\sqrt {a^6+18\,a^5\,b+111\,a^4\,b^2+284\,a^3\,b^3+351\,a^2\,b^4+210\,a\,b^5+49\,b^6}}{\sqrt {-d^2}}-\frac {2\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}\,\left (a^3+3\,a^2\,b+3\,a\,b^2+b^3\right )}{d\,\left ({\mathrm {e}}^{4\,c+4\,d\,x}-2\,{\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+1\right )}-\frac {8\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}\,\left (2\,b^3+3\,a\,b^2\right )}{3\,d\,\left (2\,{\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+{\mathrm {e}}^{4\,c+4\,d\,x}+1\right )}-\frac {6\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}\,\left (a^2\,b+2\,a\,b^2+b^3\right )}{d\,\left ({\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+1\right )}+\frac {64\,b^3\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}}{5\,d\,\left (4\,{\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+6\,{\mathrm {e}}^{4\,c+4\,d\,x}+4\,{\mathrm {e}}^{6\,c+6\,d\,x}+{\mathrm {e}}^{8\,c+8\,d\,x}+1\right )}+\frac {8\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}\,\left (15\,a\,b^2-2\,b^3\right )}{15\,d\,\left (3\,{\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+3\,{\mathrm {e}}^{4\,c+4\,d\,x}+{\mathrm {e}}^{6\,c+6\,d\,x}+1\right )}-\frac {32\,b^3\,{\mathrm {e}}^{c+d\,x}}{5\,d\,\left (5\,{\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}+10\,{\mathrm {e}}^{4\,c+4\,d\,x}+10\,{\mathrm {e}}^{6\,c+6\,d\,x}+5\,{\mathrm {e}}^{8\,c+8\,d\,x}+{\mathrm {e}}^{10\,c+10\,d\,x}+1\right )}-\frac {{\mathrm {e}}^{c+d\,x}\,\left (a^3+3\,a^2\,b+3\,a\,b^2+b^3\right )}{d\,\left ({\mathrm {e}}^{2\,c+2\,d\,x}-1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b/cosh(c + d*x)^2)^3/sinh(c + d*x)^3,x)

[Out]

(atan((exp(d*x)*exp(c)*(a^3*(-d^2)^(1/2) + 7*b^3*(-d^2)^(1/2) + 15*a*b^2*(-d^2)^(1/2) + 9*a^2*b*(-d^2)^(1/2)))
/(d*(210*a*b^5 + 18*a^5*b + a^6 + 49*b^6 + 351*a^2*b^4 + 284*a^3*b^3 + 111*a^4*b^2)^(1/2)))*(210*a*b^5 + 18*a^
5*b + a^6 + 49*b^6 + 351*a^2*b^4 + 284*a^3*b^3 + 111*a^4*b^2)^(1/2))/(-d^2)^(1/2) - (2*exp(c + d*x)*(3*a*b^2 +
3*a^2*b + a^3 + b^3))/(d*(exp(4*c + 4*d*x) - 2*exp(2*c + 2*d*x) + 1)) - (8*exp(c + d*x)*(3*a*b^2 + 2*b^3))/(3
*d*(2*exp(2*c + 2*d*x) + exp(4*c + 4*d*x) + 1)) - (6*exp(c + d*x)*(2*a*b^2 + a^2*b + b^3))/(d*(exp(2*c + 2*d*x
) + 1)) + (64*b^3*exp(c + d*x))/(5*d*(4*exp(2*c + 2*d*x) + 6*exp(4*c + 4*d*x) + 4*exp(6*c + 6*d*x) + exp(8*c +
8*d*x) + 1)) + (8*exp(c + d*x)*(15*a*b^2 - 2*b^3))/(15*d*(3*exp(2*c + 2*d*x) + 3*exp(4*c + 4*d*x) + exp(6*c +
6*d*x) + 1)) - (32*b^3*exp(c + d*x))/(5*d*(5*exp(2*c + 2*d*x) + 10*exp(4*c + 4*d*x) + 10*exp(6*c + 6*d*x) + 5
*exp(8*c + 8*d*x) + exp(10*c + 10*d*x) + 1)) - (exp(c + d*x)*(3*a*b^2 + 3*a^2*b + a^3 + b^3))/(d*(exp(2*c + 2*
d*x) - 1))

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (a + b \operatorname {sech}^{2}{\left (c + d x \right )}\right )^{3} \operatorname {csch}^{3}{\left (c + d x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(csch(d*x+c)**3*(a+b*sech(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Integral((a + b*sech(c + d*x)**2)**3*csch(c + d*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________